Теорема Коши о промежуточном значении

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на связном множестве $D$, и для точек $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in D$, $f(\mathbf{a}) < f(\mathbf{b})$. Тогда $\forall{C \in (f(\mathbf{a}); f(\mathbf{b}))}$ существует $\mathbf{c} \in D$ такая, что $f(\mathbf{c}) = C$.

Пусть такой непрерывной кривой является: $$\gamma(t) = \begin{cases} x_1 = x_1(t), \\ \vdots \\ x_m = x_m(t) \end{cases}, \quad\quad[t_0, T] \to E \subset D, \quad\quad \gamma(t_0) = \mathbf{a},~~ \gamma(T) = \mathbf{b}$$ Тогда сложная функция $g(t) = f(x_1(t), \ldots, x_m(t))$ непрерывна на $[t_0, T]$. Значит: $$\forall{C \in (f(\mathbf{a}); f(\mathbf{b})) = (g(t_0); g(T))}~~ \exists{t^* \in [t_0, T]}\mathpunct{:}~~ g(t^*) = C$$ Точка $\mathbf{c} = \gamma(t^*) \in D$ искомая: $f(\mathbf{c}) = g(t^*) = C$. $\square$